图形学核心算法与数学基础课程体系（选修）
体系定位：本课程是图形图像开发能力的“内功心法”，面向具备基础编程能力的图形学入门开发者、三维引擎工程师、几何算法研究员及计算机视觉从业者。课程旨在打通从数学原理→几何建模→数值优化→工程实现的完整认知链路，帮助学员建立可迁移的图形学底层思维，而非局限于单一API或框架的熟练度。学员可根据自身数学基础与技术方向，自主选修任一专题，各专题独立成章，共同构成图形学核心能力的完整图谱。
专题一：图形学线性代数与空间变换
培训目标：帮助学员彻底打通线性代数与三维空间变换的“任督二脉”，理解向量、矩阵、四元数在图形学中的物理意义与工程价值，能够独立完成从模型坐标系到屏幕坐标系的全链路变换推导与代码实现。
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模块
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主要培训内容
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向量空间与几何意义
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向量加法/数乘的几何解释、点积与投影、叉积与法向量、向量空间基变换、仿射组合与凸包
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矩阵变换本质
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线性变换与矩阵表示、旋转/缩放/切变矩阵推导、齐次坐标与仿射变换、变换复合与矩阵顺序
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坐标系与空间层级
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模型坐标系、世界坐标系、观察坐标系、裁剪坐标系、屏幕坐标系的逐级变换流水线
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投影矩阵推导
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正交投影矩阵推导、透视投影矩阵推导、视锥体与视场角、Z缓冲区与深度映射
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四元数与旋转
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复数与二维旋转、四元数定义与运算法则、四元数与旋转矩阵互转、球面线性插值、万向锁规避
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刚体变换与欧拉角
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欧拉角定义与旋转顺序、万向锁产生机理、欧拉角与四元数互转、刚体变换链
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工程实践
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左手系与右手系适配、矩阵/四元数在内存中的布局、浮点精度与误差累积处理
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前置要求：大学线性代数基础
专题二：计算几何与曲线曲面
培训目标：使学员掌握计算机辅助几何设计的核心数学工具，精通参数曲线/曲面的表达、插值与逼近算法，能够独立完成复杂几何形状的数学建模与程序化生成。
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模块
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主要培训内容
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参数曲线基础
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参数化表示、弧长参数化、曲线插值与逼近、切向与法向、曲率计算
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贝塞尔曲线
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伯恩斯坦基函数、德卡斯特里奥算法、贝塞尔曲线性质、分段贝塞尔、贝塞尔样条
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B样条曲线
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B样条基函数、节点向量与控制点、均匀/准均匀/非均匀B样条、节点插入与升阶
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NURBS曲线
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有理贝塞尔、权因子几何意义、NURBS标准形式、圆锥曲线精确表示
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参数曲面
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张量积曲面、贝塞尔曲面、B样条曲面、NURBS曲面、曲面求交与裁剪
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曲面建模技术
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蒙皮/扫掠/放样、曲面拟合、曲面光顺、连续性条件
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网格参数化
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平面参数化、保角映射、等积映射、边界固定与自由边界、纹理映射应用
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点云处理基础
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KD树构建与搜索、法向量估计、点云重采样、泊松重建、移动最小二乘法
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三角剖分
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Delaunay三角剖分、Voronoi图、约束Delaunay、三维四面体剖分
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前置要求：专题一或具备同等线性代数与空间几何基础
专题三：几何建模与实体表示
培训目标：使学员深入理解三维几何模型在计算机内部的数学表示体系，掌握边界表示法、隐式曲面、细分曲面、多边形网格等多种建模范式的原理、优劣与工程选型策略。
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模块
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主要培训内容
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边界表示法
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体-面-环-边-点拓扑结构、欧拉操作、流形与非流形、布尔运算实现原理
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隐式曲面建模
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符号距离场、水平集方法、代数曲面、径向基函数隐式曲面、骨骼隐式建模
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细分曲面
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Catmull-Clark细分、Loop细分、Do-Sabin细分、细分极限位置计算、尖锐特征处理
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多边形网格处理
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网格数据结构（半边/翼边）、网格简化与二次误差度量、网格细分与细化、网格修复与孔洞填充
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实体建模
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构造实体几何、二叉树表示、基本体素与变换、CSG求值与边界提取
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程序化生成
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L系统、形状语法、递归分形、参数化生成、程序化城市/地形
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几何算法工程化
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几何对象序列化、精确谓词与鲁棒性、浮点误差容限、几何内核架构浅析
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前置要求：专题二或具备同等计算几何基础
专题四：数值计算与几何优化
培训目标：使学员掌握图形学中常用的数值优化方法与求解器设计思想，能够独立解决几何拟合、能量最小化、参数标定等典型优化问题，并理解优化算法在几何处理中的应用边界。
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模块
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主要培训内容
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非线性优化基础
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无约束优化问题建模、梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法
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最小二乘法
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线性最小二乘、非线性最小二乘、高斯-牛顿法、列文伯格-马夸尔特算法、鲁棒损失函数
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约束优化
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拉格朗日乘子法、KKT条件、惩罚函数法、增广拉格朗日法、投影梯度法
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几何优化典型问题
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网格光顺与拉普拉斯平滑、As-rigid-as-possible变形、泊松方程求解、测地线计算
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求解器设计
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稀疏线性系统求解、直接法与迭代法对比、预条件技术、自定义求解器工程实现
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能量最小化框架
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二次能量最小化、非二次能量近似、局部-全局交替优化、渐进式求解策略
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优化算法评估
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收敛速度分析、全局最优与局部最优、初始化敏感性、计算复杂度权衡
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前置要求：专题一、高等数学、数值计算方法基础
专题五：图形学数学工具链与工程化实践
培训目标：培养学员将抽象的图形学数学原理转化为高效、可维护、可复用的工程代码的能力，掌握主流图形数学库的设计哲学与使用范式，具备独立构建几何算法模块的工程素养。
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模块
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主要培训内容
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GLM图形数学库
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向量/矩阵类型系统、仿函数与操作符重载、变换接口封装、投影矩阵构造、与OpenGL/主流图形API内存布局适配
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Eigen线性代数库
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稠密/稀疏矩阵存储、求解器接口、几何模块、四元数/刚体变换、性能优化选项
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CGAL几何算法库
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精确谓词与稳健性、内核选型策略、常规多边形/三角剖分、网格生成与处理、有限元集成
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几何算法单元测试
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浮点比较策略、随机测试生成、参考实现对比、可视化调试方法
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性能剖析与优化
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内存布局与缓存友好性、SIMD指令集利用、多线程并行几何计算、GPU加速几何处理
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几何算法设计模式
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策略模式实现可插拔求解器、访问者模式遍历几何拓扑、工厂模式构造几何对象
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跨语言/平台集成
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C++几何算法导出到Python/C#/Java、WebAssembly几何库编译、移动端浮点特性适配
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前置要求：专题一、专题二，具备C++工程实践经验
专题六：图形学数学原理进阶与前沿专题
培训目标：为具备扎实基础的学员提供通向图形学前沿研究的桥梁，理解现代图形学与几何处理中的高阶数学工具，培养阅读前沿文献与开展算法创新的能力。
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模块
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主要培训内容
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流形与微分几何基础
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流形概念、切空间与余切空间、度量张量、Levi-Civita联络、曲率张量
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离散微分几何
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离散曲面上的梯度/散度/拉普拉斯、余切权重建拉普拉斯、离散曲率估计
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几何深度学习
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流形上的卷积、测地线卷积、谱图卷积、点云网络、三维生成模型几何约束
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拓扑数据分析
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单纯同调、持续同调、图涅夫斯基图、Morse理论、标量场拓扑特征提取
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等几何分析
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NURBS作为分析基函数、CAD-CAE无缝集成、细分曲面有限元
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最优传输与几何
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瓦瑟斯坦距离、重心坐标与映射、点云配准、形状插值
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学术论文研读方法
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SIGGRAPH/TOG论文结构解析、算法复现方法论、数学推导拆解技巧
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前置要求：全五专题或具备同等扎实的图形学数学基础
选修建议与学习路径
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学员角色
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建议选修专题
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学习目标
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图形学入门/跨专业转型
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专题一 + 专题二
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建立图形学数学认知框架，掌握空间变换与曲线曲面基础
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三维引擎开发工程师
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专题一 + 专题三 + 专题五
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精通坐标系变换与几何表示，具备引擎几何模块工程能力
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几何算法/CAD内核工程师
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专题二 + 专题三 + 专题四
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深入掌握计算几何与实体建模，具备求解器集成经验
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计算机视觉/三维重建工程师
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专题二（点云/网格）+ 专题四（优化）
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掌握几何优化与参数化方法，提升三维重建精度
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图形学工具链/平台工程师
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专题五 + 专题四
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构建高性能几何算法库，提供可复用的图形数学基础设施
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图形学/几何处理算法研究员
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全六专题
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建立完整数学理论体系，具备前沿算法创新能力
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高校学生/科研入门
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专题一 + 专题二 + 专题六
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衔接本科数学与前沿研究，培养学术文献阅读能力
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